Z\(_n^\times\) が巡回群かどうかを極座標で見る

定理: 群 \( Z_n^\times \) が巡回群となるのは \[ n \in \{1,2,4,\,p^k,\,2p^k\} \] である場合に限る（ただし \(p\) は奇素数, \(k > 0\)）。

\(1,g,g^2,\dots\) の軌跡を描きます。

円周上に \(0,1,\dots,n-1\) を角度 \(\frac{2\pi k}{n}\) の位置に点として打ち、 そのうち \(\gcd(k,n)=1\) のもの（\(Z_n^\times\) の元）を濃い色で表示しています。

  • 薄い点 … \(0,1,\dots,n-1\) のすべての剰余。
  • 濃い点 … \(Z_n^\times\) の元（\(\gcd(k,n)=1\)）。
  • 選んだ \(g\) のべき列 \(1,g,g^2,\dots\) を線で結んで描画。

巡回群のときは、ある \(g\) のべきで全ての濃い点を 1 周できるので、 濃い点をすべて通る 1 つの大きな多角形が見えます。

非巡回群のときは、どの \(g\) を選んでも一部しか回れず、 小さなポリゴンがいくつも現れます。 これが「\(Z_n^\times\) が巡回群になる \(n\) と、ならない \(n\) の違い」です。